Условные законы распределения

Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.
Однако, на практике чаще стоит обратная задача - по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.
В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.
Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.
Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.
Определение. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.
Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Условное математическое ожидание

Определение. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x (х - определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин:

где f(y/x) - условная плотность случайной величины Y при X=x.
Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y. Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X= x₁=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:
таблица

Аналогично определяются условная дисперсия и условные моменты системы случайных величин.